I. Логическая эволюция от одного измерения к двум
На числовой прямой положение точки можно определить одним действительным числом, а точки на плоскости существуют в двух взаимно перпендикулярных измерениях. После построения прямоугольной системы координат для любой точки $M$ на координатной плоскости существует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x, y)$, соответствующая ей; наоборот, для любой упорядоченной пары действительных чисел $(x, y)$ на координатной плоскости существует единственная точка $M$, соответствующая ей. Такоевзаимно-однозначное соответствиеявляется фундаментом мышления, связывающего числа и фигуры.
упорядоченная пара— две числа $a$ и $b$, расположенные в определённом порядке, образуют упорядоченную пару, обозначаемую как $(a, b)$.
«Упорядоченность» означает, что $(x, y) \neq (y, x)$ (если только $x = y$). Порядок определяет направление, которое представляют цифры (горизонтальное или вертикальное смещение).
II. Двустороннее взаимно-однозначное отображение
Это отображение гарантирует, что числа могут точно описывать положение фигур, а фигуры наглядно отражают свойства чисел, позволяя алгебраически обрабатывать геометрические фигуры на плоскости. Мы можем обобщить эту связь следующим образом:
- решать фигуры через числа— вычислять площадь, периметр фигуры или определять их взаимное расположение с помощью координат.
- использовать фигуры для помощи в числах— наглядно понимать свойства функций или решения уравнений, наблюдая за графиками.